1
Математики доказали, что случайные системы подчиняются только одному закону
Экономисты Омер Тамуз (Калифорнийский технологический институт) и Федор Сандомирский (Принстонский университет) представили новое доказательство уникальности распределения Больцмана. Молекулы воздуха движутся хаотично, и предсказать их траектории невозможно, но вероятности позволяют работать с состояниями системы. Людвиг Больцман в XIX веке вывел распределение, которое дает вероятность состояния системы, аналогично броскам игральной кости. Эта идея лежит в основе многомерной логистической регрессии — популярного инструмента в экономике и машинном обучении.
Когда модель предсказывает выбор человека (например, бренд телефона), она считает вероятности для каждого варианта. Формула аналогична распределению Больцмана: вероятность выбора пропорциональна экспоненте от «полезности» варианта, нормализованной до суммы 1. Модель должна учитывать только значимые факторы, иначе возникают ошибки.
Авторы задали вопрос о математическом законе, который гарантирует независимость несвязанных выборов. Они использовали аналогию с игральными костями. Обычная пара дает суммы от 2 до 12 с классическим распределением. В 1977 году Джордж Сихерман изобрел «странные» кости, у которых вероятности сумм совпадают с обычными кубиками, что иллюстрирует независимость.
Тамуз и Сандомирский проверили все альтернативные распределения: если теория дает одинаковые вероятности для обычных и «странных» костей — она сохраняет независимость. Только семейство Больцмана прошло все тесты безупречно. Это подтверждает, что Больцман является единственным логичным выбором для несвязанных систем в физике и экономике.
«Это пример того, как абстрактное математическое мышление может объединять различные области — в данном случае, связывая идеи из экономической теории с физикой», — подчеркивает Тамуз.
Фото: California Institute of Technology; Caltech/Whitney Clavin
*на втором фото игральные кости Сихермана
💡 Telegram / 💜 МAX / все наши каналы